Solution IMO 1977 Problem 4

IMO Tahun 1966 Nomor 4
Soal: Prove that for every natural number n, and for every real number x≠kπ/2^t
(t=0,1,…,n;k any integer)
1/sin⁡2x +1/sin⁡4x +⋯+1/sin⁡〖2^n x〗 =cot⁡x-cot⁡〖2^n x〗


Solusi:
Untuk menjawab soal diatas, ada beberapa rumus dasar trigonometri yang akan digunakan  yaitu:
Fungsi dasar : cot⁡〖x=1/tan⁡x =cos⁡x/sin⁡x 〗
Identitas : 〖sin〗^2 x+〖cos〗^2 x=1
dari rumus identitas diperoleh 〖sin〗^2 x=1-〖cos〗^2 x
atau  〖cos〗^2 x=1-〖sin〗^2 x.
Penjumlahan :
sin⁡〖(x+y)=sin⁡〖x.cos⁡〖y+cos⁡〖x.sin⁡y 〗 〗 〗 〗
cos⁡〖(x+y)=cos⁡〖x.cos⁡〖y-sin⁡〖x.sin⁡y 〗 〗 〗 〗
Sudut rangkap dua 〖(sin〗⁡〖2x)〗
sin⁡〖(x+y)=sin⁡〖x.cos⁡〖y+cos⁡〖x.sin⁡y 〗 〗 〗 〗
Untuk x=y maka
sin⁡〖(x+x)=sin⁡〖x.cos⁡〖x+cos⁡〖x.sin⁡x 〗 〗 〗 〗
sin⁡〖2x=2.〗  sin⁡x  cos⁡x
Sudut rangkap dua 〖(cos〗⁡2x)
cos⁡〖(x+y)=cos⁡〖x.cos⁡〖y-sin⁡〖x.sin⁡y 〗 〗 〗 〗
Untuk x=y maka
cos⁡〖(x+x)=cos⁡〖x.cos⁡〖x-sin⁡〖x.sin⁡x 〗 〗 〗 〗
cos⁡2x=〖cos〗^2 x-〖sin〗^2 x
atau  cos⁡2x=〖cos〗^2 x-(1-〖cos〗^2 x)=2〖cos〗^2 x-1
atau  sin⁡2x=(1-〖sin〗^2 x)-〖sin〗^2 x=1-2〖sin〗^2 x

Akan dijabarkan masing-masing dari 1/sin⁡2x  , 1/sin⁡4x  , 1/sin⁡8x  , … , 1/sin⁡〖2^n x〗
1/sin⁡2x =(2〖cos〗^2 x-(2〖cos〗^2 x-1))/sin⁡2x
            =(2〖cos〗^2 x)/sin⁡2x -(2〖cos〗^2 x-1)/sin⁡2x
            =(2〖cos〗^2 x)/(2 sin⁡〖xcos x〗 )-cos⁡2x/sin⁡2x
            =cos⁡x/sin⁡x -cos⁡2x/sin⁡2x
            =cot⁡〖x-cot⁡2x 〗, dimana x≠kπ/2^t  (t=0,1,2,…,n;k any integer).

1/sin⁡4x =(2〖cos〗^2 2x-(2〖cos〗^2 2x-1))/sin⁡4x
            =(2〖cos〗^2 2x)/sin⁡4x -(2〖cos〗^2 2x-1)/sin⁡4x
            =(2〖cos〗^2 2x)/(2 sin⁡〖2x cos 2x〗 )-cos⁡4x/sin⁡4x
            =cos⁡2x/sin⁡2x -cos⁡4x/sin⁡4x
            =cot⁡〖2x-cot⁡4x 〗
            =cot⁡〖2x-cot⁡〖2^2 x〗 〗, dimana x≠kπ/2^t   (t=0,1,2,…,n;k any integer).

1/sin⁡8x =(2〖cos〗^2 4x-(2〖cos〗^2 4x-1))/sin⁡8x
            =(2〖cos〗^2 4x)/sin⁡8x -(2〖cos〗^2 4x-1)/sin⁡8x
            =(2〖cos〗^2 4x)/(2 sin⁡〖4x cos 4x〗 )-cos⁡8x/sin⁡8x
            =cos⁡4x/sin⁡4x -cos⁡8x/sin⁡8x
            =cot⁡〖4x-cot⁡8x 〗
            =cot⁡〖2^2 x-cot⁡〖2^3 x〗 〗, dimana x≠kπ/2^t  (t=0,1,2,…,n;k any integer).
⋮
1/sin⁡〖2^n x〗 =(2〖cos〗^2 2^(n-1) x-(2〖cos〗^2 2^(n-1) x-1))/sin⁡〖2^n x〗
            =(2〖cos〗^2 2^(n-1) x)/sin⁡〖2^n x〗 -(2〖cos〗^2 2^(n-1) x-1)/sin⁡〖2^n x〗
            =(2〖cos〗^2 2^(n-1) x)/(2 sin⁡〖2^(n-1) x cos 2^(n-1) x〗 )-cos⁡〖2^n x〗/sin⁡〖2^n x〗
            =cos⁡〖2^(n-1) x〗/sin⁡〖2^(n-1) x〗 -cos⁡〖2^n x〗/sin⁡〖2^n x〗
            =cot⁡〖2^(n-1) x-cot⁡〖2^n x〗 〗, dimana n∈N, dan x≠kπ/2^t  (t=0,1,2,…,n;k any integer).

Dari uraian diatas, diperoleh
1/sin⁡2x +1/sin⁡4x +1/sin⁡8x +⋯+1/sin⁡〖2^n x〗
=cot⁡〖x-cot⁡〖2x+cot⁡〖2x-cot⁡〖2^2 x+〗 〗 〗 〗  cot⁡〖2^2 x-cot⁡〖2^3 x+⋯-〗 〗  cot⁡〖2^(n-1) x+cot⁡〖2^(n-1) x-cot⁡〖2^n x〗 〗 〗
=cot⁡〖x-cot2^n x〗   dimana n∈N, dan x≠kπ/2^t  (t=0,1,2,…,n;k any integer). ∎

Jadi terbukti bahwa
1/sin⁡2x +1/sin⁡4x +1/sin⁡8x +⋯+1/sin⁡〖2^n x〗 =cot⁡〖x-cot2^n x〗


untuk lebih jelasya tentang solusi diatas bisa dilihat pada video di bawah ini.